弦切角定理的证明

第一篇：弦切角定理证明

弦切角定理证明

弦切角定理

编辑本段弦切角定义

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）

如右图所示，直线pt切圆o于点c，bc、ac为圆o的弦，∠tcb，∠tca，∠pca，∠pcb都为弦切角。

编辑本段弦切角定理

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：

证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb

∵∠boc=180-2∠ocb

∴,∠boc=2∠tcb（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）

∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍)

∴∠tcb(敬请期待更好文章：WWW.)=∠cab（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）

证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.

求证：(弦切角定理)

证明：分三种情况：

(1)圆心o在∠bac的一边ac上

∵ac为直径，ab切⊙o于a，

∴弧cma=弧ca

∵为半圆,

∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在∠bac的内部.

过a作直径ad交⊙o于d,

若在优弧m所对的劣弧上有一点e< ……此处隐藏1874个字……角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半。证明如下：

a

图（2）

如图（2）所示，已知ab为⊙o的直径，bd为过圆上b点的切线，求证：（1）∠cbd=∠cab,∠cbd=∠ceb（2）∠cbd=∠cob 21证明：（1）∵ab为⊙o的直径，bd为过b点的切线∴ab⊥bd

∴∠abd=90o

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肯特教育欢迎各位朋友批评指正，王老师18201460373∴∠abc＋∠cbd=90°

∵ab为⊙o直径

∴∠acb=90°

则∠abc＋∠cab=90°

∴∠cbd=∠cab

∵∠cab和∠ceb同弧所对的圆周角∴∠cab=∠ceb

则∠cbd=∠ceb

（2）∵∠cab和∠cob是同弧所对的圆周角和圆心角∴ ∠cab=∠cob 21

又∵∠cbd=∠cab

∴∠cab=∠cob 21

二、切割线定理及推论

1、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。证明如下：

图（3）

如图（3）所示，直线pa与圆相切于a点，直线pc与圆相交于b、c两点，求证：pa2=pb·pc

证明：连结ba、ca

∵pa为圆的切线∴∠pab=∠pca（弦切角定理）

∵∠pab=∠pca，∠bpa=∠apc（公共角）∴△pab∽△pca

∴pa

pc = pb

pa

∴ pa2=pb·pc